MINUTES OF MEETING T01 DAN TUGAS T01

                                                 MINUTE OF  MEETING T01

                                                      KATA PENGANTAR

          Puji serta syukur kami panjatkan kepada Allah S.W.T seta kepada Nabi kita Nabi Muhammad SAW, kepada para Sahabatnya, keluarga, serta sampai kepada kita selaku umatnya.
          Tugas Desain Pemodelan Grafik yang berjudul curve Modelling, Makalah ini kami buat untuk memenuhi tugas mata pelajaran Desain Pemodelan Grafik pada semester 5 ini dan semoga tugas ini dapat bermanfaat bagi pembaca pada umumnya dan kepada penulis khususnya.
          Ucapan terimakasih yang setulus-tulusnya penulis sampaikan kepada yang terhormat IbuNovia Fatimah, selaku dosen pada mata kuliah Soft skill yang merupakan salah satu mata kuliah yang sedang kami tempuh, yang telah berkenan membimbing, mengoreksi, serta mengarahkan dari sejak awal hingga terselesaikannya paper ini. Semoga budi baik dan ketulusannya mendapat pahala yang berlipat ganda dari Allah SWT.
           Kritik dan saran sangat kami harapkan dalam upaya perbaikan kami dalam membuat tugas ini. Karena sangat kami sadari pembuata makalah ini sarat akan kekurangan.

Depok, November 2013
Penyusun

                                                                   BAB I

                                                          PENDAHULUAN

             Perjalanan desain dan gaya huruf latin mulai diterapkan pada awal masa kejayaan kerajaan ROMAWI. Kejayaan kerajaan Romawi di abad pertama yang berhasil menaklukkan Yunani, membawa peradaban baru dalam sejarah Barat dengan diadaptasikannya kesusasteraan, kesenian, agama, serta alfabet Latin yang dibawa dari Yunani. Pada awalnya alfabet Latin hanya terdiri dari 21 huruf : A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, dan X, kemudian huruf Y dan Z ditambahkan dalam alfabet Latin untuk mengakomodasi kata yang berasal dari bahasa Yunani. Tiga huruf tambahan J, U dan W dimasukkan pada abad pertengahan sehingga jumlah keseluruhan alfabet Latin menjadi 26.
          Ketika perguruan tinggi pertama kali berdiri di Eropa pada awal milenium kedua, buku menjadi sebuah tuntutan kebutuhan yang sangat tinggi. Teknologi cetak belum ditemukan pada masa itu, sehingga sebuah buku harus disalin dengan tangan. Konon untuk penyalinan sebuah buku dapat memakan waktu berbulan-bulan. Guna memenuhi tuntutan kebutuhan penyalinan berbagai buku yang semakin meningkat serta untuk mempercepat kerja para penyalin (scribes), maka lahirlah huruf Blackletter Script, berupa huruf kecil yang dibuat dengan bentuk tipis-tebal dan ramping. Efisiensi dapat terpenuhi lewat bentuk huruf ini karena ketipis tebalannya dapat mempercepat kerja penulisan. Disamping itu, dengan keuntungan bentuk yang indah dan ramping, huruf-huruf tersebut dapat ditulisakan dalam jumlah yang lebih banyak diatas satu halaman buku.
          Berikut ini adalah peristiwa-peristiwa penting dalam sejarah perkembangan desain grafis. Johannes Gutenberg (1398-1468) menemukan teknologi mesin cetak yang bisa digerakkan pada tahun 1447 dengan model tekanan menyerupai disain yang digunakan di Rhineland, Jerman untuk menghasilkan anggur. Ini adalah suatu pengembangan revolusioner yang memungkinkan produksi buku secara massal dengan biaya rendah, yang menjadi bagian dari ledakan informasi pada masa kebangkitan kembali Eropa.
1851, The Great Exhibition
        Diselenggarakan di taman Hyde London antara bulan Mei hingga Oktober 1851,pada saat Revolusi industri. Pameran besar ini menonjolkan budaya dan industri serta merayakan teknologi industri dan disain. Pameran digelar dalam bangunan berupa struktur besi-tuang dan kaca, sering disebut juga dengan Istana Kristal yang dirancang oleh Joseph Paxton.
          1892, Aristide Bruant, Toulouse-Lautrec Pelukis post-Impressionist dan ilustrator art nouveau Prancis, Henri Toulouse-Lautrec melukiskan banyak sisi Paris pada abad ke sembilan belas dalam poster dan lukisan yang menyatakan sebuah simpati terhadap ras manusia. Walaupun lithography ditemukan di Austria oleh Alois Senefelder pada tahun 1796, Toulouse-Lautrec membantu tercapainya peleburan industri dan seni.
1910, Modernisme
       Modernisme terbentuk oleh urbanisasi dan industrialisasi dari masyarakat Barat. Sebuah dogma yang menjadi nafas desain modern adalah Form follow Function yang di lontarkan oleh Louis Sullivan.Symbol terkuat dari kejayan modernisme adalah mesin yang juga diartikan sebagai masa depan bagi para pengikutnya. Desain tanpa dekorasi lebih cocok dengan bahasa mesin, sehingga karya-karya tradisi yang bersifat ornamental dan dekoratif dianggap tidak sesuai dengan estetika mesin
1916, Dadaisme
Suatu pergerakan seni dan kesusasteraan (1916-23) yang dikembangkan mengikuti masa Perang Dunia Pertama dan mencari untuk menemukan suatu kenyataan asli hingga penghapusan kultur tradisional dan bentuk estetik. Dadaism membawa gagasan baru, arah dan bahan, tetapi dengan sedikit keseragaman. Prinsipnya adalah ketidakrasionalan yang disengaja, sifat yang sinis dan anarki, dan penolakan terhadap hukum keindahan.
1916, De Stijl
           Gaya yang berasal dari Belanda, De Stijl adalah suatu seni dan pergerakan disain yang dikembangkan sebuah majalah dari nama yang sama ditemukan oleh Theo Van Doesburg. De Stijl menggunakan bentuk segi-empat kuat, menggunakan warna-warna dasar dan menggunakan komposisi asimetris. Gambar dibawah adalah Red and Blue Chair yang dirancang oleh Gerrit Rietveld.
1918, Constructivism
         Suatu pergerakan seni modern yang dimulai di Moscow pada tahun 1920, yang ditandai oleh penggunaan metoda industri untuk menciptakan object geometris. Constructivism Rusia berpengaruh pada pandangan moderen melalui penggunaan huruf sans-serif berwarna merah dan hitam diatur dalam blok asimetris. Gamabr dibawah adalah model dari Menara Tatlin, suatu monumen untuk Komunis Internasional.
1919, Bauhaus
              Bauhaus dibuka pada tahun 1919 di bawah arahan arsitek terkenal Walter Gropius. Sampai akhirnya harus ditutup pada tahun 1933, Bauhaus memulai suatu pendekatan segar untuk mendisain mengikuti Perang Duni Pertama, dengan suatu gaya yang dipusatkan pada fungsi bukannya hiasan.
      1928-1930, Gill Sans Tipograper Eric Gill belajar pada Edward Johnston dan memperhalus tipe huruf Underground ke dalam Gill Sans. Gill Sans adalah sebuah jenis huruf sans serif dengan proporsi klasik dan karakteristik geometris lemah gemulai yang memberinya suatu kemampuan beraneka ragam (great versatility).
             1931, Harry Beck Perancang grafis Harry Back ( 1903-1974) menciptakan peta bawah tanah London (London Underground Map) pada tahun 1931. Sebuah pekerjaan abstrak yang mengandung sedikit hubungan ke skala fisik. Beck memusatkan pada kebutuhan pengguna dari bagaimana cara sampai dari satu stasiun ke stasiun yang lain dan di mana harus berganti kereta.
                 1950s, International Style International atau Swiss style didasarkan pada prinsip revolusioner tahun 1920an seperti De Stijl, Bauhaus dan Neue Typography, dan itu menjadi resmi pada tahun 1950an. Grid, prinsip matematika, sedikit dekorasi dan jenis huruf sans serif menjadi aturan sebagaimana tipografi ditingkatkan untuk lebih menunjukkan fungsi universal daripada ungkapan pribadi.
                   1951, Helvetica Diciptakan oleh Max Miedinger seorang perancang dari Swiss, Helvetica adalah salah satu tipe huruf yang paling populer dan terkenal di dunia. Berpenampilan bersih, tanpa garis-garis tak masuk akal berdasarkan pada huruf Akzidenz-Grotesk. Pada awalnya disebut Hass Grostesk, nama tersebut diubah menjadi Helvetica pada tahun 1960. Helvetica keluarga mempunyai 34 model ketebalan dan Neue Helvetica mempunyai 51 model.
                   1960s, Psychedelia and Pop Ar Kultur yang populer pada tahun 1960an seperti musik, seni, disain dan literatur menjadi lebih mudah diakses dan merefleksikan kehidupan sehari-hari. Dengan sengaja dan jelas, Pop Art berkembang sebagai sebuah reaksi perlawanan terhadap seni abstrak. Gambar dibawah adalah sebuah poster karya Milton Glaser yang menonjolkan gaya siluet Marcel Duchamp dikombinasikan dengan kaligrafi melingkar. Di cetak lebih dari 6 juta eksemplar.
                    1984, migr Majalah disain grafis Amerika, migr adalah publikasi pertama untuk menggunakan komputer Macintosh, dan mempengaruhi perancang grafis untuk beralih ke desktop publishing ( DTP). Majalah ini juga bertindak sebagai suatu forum untuk eksperimen tipografi.
               Graphic adalah presentasi visual pada sebuah permukaan seperti dinding, kanvas, layar komputer, kertas, atau batu bertujuan untuk memberi tanda, informasi, ilustrasi, atau untuk hiburan. Contohnya adalah: foto, gambar,Line Art, grafik, diagram, tipografi, angka, simbol, desain geometris, peta, gambar teknik, dan lain-lain. Seringkali dalam bentuk kombinasi teks, ilustrasi, dan warna.
Terdapat 2 jenis grafik, yaitu:

• Raster. Dimana setiap pixel didefinisikan secara terpisah. Model data raster merepresentasikan fitur-fitur ke dalam bentuk matrik yang berkelanjutan. Setiap layer merepresentasikan satu atribut (meskipun atribut lain dapat diikutsertakan ke dalam sel matrik). Entiti spasial raster disimpan di dalam layer yang secara fungsionalitas direlasikan dengan unsur-unsur petanya. Contoh sumber entiti spasial raster adalah citra satelit (misalnya Ikonos).

• Vector. Dimana formula matematika digunakan untuk menggambar graphics primitives (garis, kotak, lingkaran,elips, dll) dan menggunakan attributnya. Gambar vektor biasanya berukuran lebih kecil, gambarnya tidak pecah, dan semua manipulasi dilakukan melalui rumus.

Grafik Raster(Bitmap)

               Grafik Raster adalah representasi dari citra grafis, terdiri dari susunan titik-titik elemen gambar(piksel). Setiap pikselnya memiliki nilai-nilai warna yang dipresentasikan secara numerik. Jumlah kemungkinan warna yang dapat ditampilkan tergantung dari satuan bit yang dimiliki gambar tersebut. Gambar 8 bit berarti kemungkinan warna yang dapat ditampilkan oleh piksel-piksel tersebut sebanyak 2 pangkat 8 = 256 warna. Jumlah warna yang boleh dimiliki oleh suatu gambar dinamakan intensitas. Biasanya dikenal istilah 256 warna, high color, 16 juta warna (true color) gradasi abu-abu (grayscale), serta hitam-putih (black & white). Jumlah warna maksimum dari gambar dapat dilihat dari jenis filenya. Misalnya file berekstensi .jpg memiliki maksimum 16 juta warna, atau file yang berekstensi .gif memiliki jumlah warna maksimum 256.

                  Resolusi dari gambar raster dinyatakan dalam satuan dot per inch(dpi) atau pixel per inch(ppi). Terkadang saat memindai foto dengan resolusi tinggi, saat dilihat melalui monitor komputer tampak lebih besar. Hal itu dikarenakan standar display monitor memiliki resolusi yang lebih rendah. Umumnya monitor komputer memiliki resolusi sekitar 70 sampai 100 piksel per inchi, tergantung dari monitor yang dipakai dan pengaturan layarnya.
Contoh ekstensi file bitmap adalah BMP, JPG, TIFF, GIF, PCX, PSD, PICT(MacOS), dan lain-lain.

Grafik Vektor

               Grafik vektor adalah objek gambar terbentuk melalui kombinasi titik-titik dan garis dengan menggunakan rumusan matematika tertentu. Gambar Vektor tersusun atas objek garis, kurva, bentukan(shape) dan memiliki atribut seperti : isian warna, isian tekstur, garis tepi. Masing - masing objek tersebut terwujud dari hasil pemetaan koordinat dan persamaan matematis untuk dipakai dalam algoritma. Ukuran file dari gambar vektor grafis dipengaruhi oleh kompleksitas dari persamaaan vektor yang digunakan. Misalnya jika ada objek bergambar garis lurus, dan objek dengan garis-garis kecil tidak beraturan, maka ukuran dari objek bergambar garis lurus lebih kecil dari pada garis tidak beraturan tadi. Contoh gambar vektor adalah ilustrasi, kartun, logo, dan text. Gambar vektor bersifat resolution independent, artinya kualitas gambar tidak tergantung dari resolusi yang digunakan. Contoh ekstensi file vektor adalah AI, CDR, FH, DXF, CMG, dan lain-lain.
Perbedaan Grafik Vektor dan Grafik Raster

Grafik vektor:

• Disusun oleh objek geometris yang dibuat berdasarkan perhitungan matematis, tersusun dari garis dan kurva, sehingga menggambar garis menjadi lebih mudah.

• Sifatnya resolution independent, sehingga jika diperbesar, gambar tidak pecah, dan dapat dicetak dengan resolusi tinggi pada printer.

• Digunakan untuk ilustrasi dengan bentuk geometris sederhana, warna solid atau gradasi tanpa terlalu banyak variasi warna(tidak sebanyak gambar raster), sehingga tidak mampu menggambar objek dengan detail yang kompleks. Cocok untuk logo dan jenis desain yang mengandalkan kesederhanaan bentuk.

• Pemakaian akan lebih irit dari segi volume file, tetapi dari segi pemakaian prosessor akan memakan banyak memori.

• Tidak dapat menghasilkan objek gambar vektor yang prima ketika melakukan konversi objek gambar tersebut dari format bitmap 

Grafik raster:

• Disusun oleh titik-titik elemen yang disebut piksel

• Sifatnya resolution dependent. Jika diperbesar, gambar akan terlihat pecah, kualitas tergantung dari banyaknya piksel

• Dapat digunakan untuk gambar kompleks, berupa ragam warna dan bentuk yang beraneka, seperti foto dari hasil bidikan kamera.

• Ukuran penyimpanan file relatif besar, karena menyimpan informasi jutaan piksel

• Dapat menghasilkan objek gambar bitmap dari objek gambar vektor dengan mudah dan cepat, mutu dapat ditentukan.

Batasan Media

       Desain grafis pada awalnya diterapkan untuk media-media statis, seperti buku, majalah, dan brosur. Sebagai tambahan, sejalan dengan perkembangan zaman, desain grafis juga diterapkan dalam media elektronik, yang sering kali disebut sebagai desain interaktif atau desain multimedia.
          Batas dimensi pun telah berubah seiring perkembangan pemikiran tentang desain. Desain grafis bisa diterapkan menjadi sebuah desain lingkungan yang mencakup pengolahan ruang.

Prinsip Dan Unsur Desain

          Unsur dalam desain grafis sama seperti unsur dasar dalam disiplin desain lainnya. Unsur-unsur tersebut (termasuk shape, bentuk (form), tekstur, garis, ruang, dan warna) membentuk prinsip-prinsip dasar desain visual. Prinsip-prinsip tersebut, seperti keseimbangan (balance), ritme (rhythm), tekanan (emphasis), proporsi (”proportion”) dan kesatuan (unity), kemudian membentuk aspek struktural komposisi yang lebih luas.

                                                                     BAB I I

                                                              PENJELASAN

Desain Pemodelan Grafis

      Pemodelan adalah membentuk suatu benda-benda atau obyek. Membuat dan mendesain obyek tersebut sehingga terlihat seperti hidup. Sesuai dengan obyek dan basisnya, proses ini secara keseluruhan dikerjakan di komputer. Melalui konsep dan proses desain, keseluruhan obyek bisa diperlihatkan secara 3 dimensi, sehingga banyak yang menyebut hasil ini sebagai bentuk pemodelan dari 3 dimensi (3D modelling).
Ada beberapa aspek yang harus dipertimbangkan bila membangun model obyek, kesemuanya memberi kontribusi pada kualitas hasil akhir. Hal-hal tersebut meliputi metoda untuk mendapatkan atau membuat data yang mendeskripsikan obyek, tujuan dari model, tingkat kerumitan, perhitungan biaya, kesesuaian dan kenyamanan, serta kemudahan manipulasi model.
         Proses pemodelan 3D membutuhkan perancangan yang dibagi dengan beberapa tahapan untuk pembentukannya. Seperti obyek apa yang ingin dibentuk sebagai obyek dasar, metoda pemodelan obyek 3D, pencahayaan dan animasi gerakan obyek sesuai dengan urutan proses atau tahapan yang akan dilakukan untuk dibentuk menjadi permodelan 3 Dimensi.

a. Motion Capture/Model 2D

          Yaitu langkah awal untuk menentukan bentuk model obyek yang akan dibangun dalam bentuk 3D. Penekanannya adalah obyek berupa gambar wajah yang sudah dibentuk intensitas warna tiap pixelnya dengan metode Image Adjustment Brightness/Contrast, Image Color Balance, Layer Multiply, dan tampilan Convert Mode RGB dan format JPEG. Dalam tahap ini digunakan aplikasi grafis seperti Adobe Photoshop atau sejenisnya. Dalam tahap ini proses penentuan obyek 2D memiliki pengertian bahwa obyek 2D yang akan dibentuk merupakan dasar pemodelan 3D.
Keseluruhan obyek 2D dapat dimasukkan dengan jumlah lebih dari satu, model yang akan dibentuk sesuai dengan kebutuhan. Tahap rekayasa hasil obyek 2D dapat dilakukan dengan aplikasi program grafis seperti Adobe Photoshop dan lain sebagainya, pada tahap pemodelan 3D, pemodelan yang dimaksud dilakukan secara manual. Dengan basis obyek 2D yang sudah ditentukan sebagai acuan. Pemodelan obyek 3D memiliki corak yang berbeda dalam pengolahannya, corak tersebut penekanannya terletak pada bentuk permukaan obyek.

b. Dasar Metode Modeling 3D

             Ada beberapa metode yang digunakan untuk pemodelan 3D. Ada jenis metode pemodelan obyek yang disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision. Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan. Untuk mendapatkan permukaan yang halus, dibutuhkan banyak bidang polygon. Bila hanya menggunakan sedikit polygon, maka object yang didapat akan terbagi sejumlah pecahan polygon.
        Sedangkan Modeling dengan NURBS (Non-Uniform Rational Bezier Spline) merupakan metode paling populer untuk membangun sebuah model organik. Kurva pada Nurbs dapat dibentuk dengan hanya tiga titik saja. Dibandingkan dengan kurva polygon yang membutuhkan banyak titik (verteks) metode ini lebih memudahkan untuk dikontrol. Satu titik CV (Control verteks) dapat mengendalikan satu area untuk proses tekstur.

c. Proses Rendering

           Tahap-tahap di atas merupakan urutan yang standar dalam membentuk sebuah obyek untuk pemodelan, dalam hal ini texturing sebenarnya bisa dikerjakan overlap dengan modeling, tergantung dari tingkat kebutuhan. Rendering adalah proses akhir dari keseluruhan proses pemodelan ataupun animasi komputer. Dalam rendering, semua data-data yang sudah dimasukkan dalam proses modeling, animasi, texturing, pencahayaan dengan parameter tertentu akan diterjemahkan dalam sebuah bentuk output. Dalam standard PAL system, resolusi sebuah render adalah 720 x 576 pixels. Bagian rendering yang sering digunakan :

• Field Rendering. Field rendering sering digunakan untuk mengurangi strobing effect yang disebabkan gerakan cepat dari sebuah obyek dalam rendering video.

• Shader. Shader adalah sebuah tambahan yang digunakan dalam 3D software tertentu dalam proses special rendering. Biasanya shader diperlukan untuk memenuhi kebutuhan special effect tertentu seperti lighting effects, atmosphere, fog dan sebagainya.

d. Texturing

          Proses texturing ini untuk menentukan karakterisik sebuah materi obyek dari segi tekstur. Untuk materi sebuah object bisa digunakan aplikasi properti tertentu seperti reflectivity, transparency, dan refraction. Texture kemudian bisa digunakan untuk meng-create berbagai variasi warna pattern, tingkat kehalusan/kekasaran sebuah lapisan object secara lebih detail.

e. Image dan Display

        Merupakan hasil akhir dari keseluruhan proses dari pemodelan. Biasanya obyek pemodelan yang menjadi output adalah berupa gambar untuk kebutuhan koreksi pewarnaan, pencahayaan, atau visual effect yang dimasukkan pada tahap teksturing pemodelan. Output images memiliki Resolusi tinggi berkisar Full 1280/Screen berupa file dengan JPEG,TIFF, dan lain-lain. Dalam tahap display, menampilkan sebuah bacth Render, yaitu pemodelan yang dibangun, dilihat, dijalankan dengan tool animasi. Selanjutnya dianalisa apakah model yang dibangun sudah sesuai tujuan. Output dari Display ini adalah berupa *.Avi, dengan Resolusi maksimal Full 1280/Screen dan file *.JPEG.
        Ada beberapa metode yang digunakan untuk pemodelan 3D. Metode pemodelan obyek disesuaikan dengan kebutuhannya seperti dengan nurbs dan polygon ataupun subdivision. Modeling polygon merupakan bentuk segitiga dan segiempat yang menentukan area dari permukaan sebuah karakter. Setiap polygon menentukan sebuah bidang datar dengan meletakkan sebuah jajaran polygon sehingga kita bisa menciptakan bentuk-bentuk permukaan. Untuk mendapatkan permukaan yang halus, dibutuhkan banyak bidang polygon. Bila hanya digunakan sedikit polygon, maka object yang didapatkan akan terbagi menjadi pecahan-pecahan polygon.
       Sedangkan Modeling dengan Nurbs (Non-Uniform Rational Bezier Spline) adalah metode paling populer untuk membangun sebuah model organik. Hal ini dikarenakan kurva pada Nurbs dapat dibentuk dengan hanya tiga titik saja. Dibandingkan dengan kurva polygon yang membutuhkan banyak titik (verteks) metode ini lebih memudahkan untuk dikontrol. Satu titik CV (Control verteks) dapat mengendalikan satu area untuk proses tekstur.
          Desain permodelan grafik sangat berkaitan dengan grafik komputer. Berikut adalah kegiatan yang berkaitan dengan grafik kompute r:

• Pemodelan geometris : menciptakan model matematika dari objek-objek 2D dan 3D.

• Rendering : memproduksi citra yang lebih solid dari model yang telah dibentuk.

•  Animasi : Menetapkan/menampilkan kembali tingkah laku/behaviour objek bergantung waktu.

• Graphics Library/package (contoh : OpenGL) adalah perantara aplikasi dan display hardware(Graphics System).

• Application program memetakan objek aplikasi ke tampilan/citra dengan memanggil graphics library.

• Hasil dari interaksi user menghasilkan/modifikasi citra.

•  Citra merupakan hasil akhir dari sintesa, disain, manufaktur, visualisasi dll.

Pemodelan Geometris

        Transformasi dari suatu konsep (atau suatu benda nyata) ke suatu model geometris yang bisa ditampilkan pada suatu komputer :

•  Shape/bentuk

•  Posisi

• Orientasi (cara pandang)

• Surface Properties/Ciri-ciri Permukaan (warna, tekstur)

•  Volumetric Properties/Ciri-ciri volumetric (ketebalan/pejal, penyebaran cahaya)

• Lights/cahaya (tingkat terang, jenis warna)

Pemodelan Geometris yang lebih rumit :

• Jala-jala segi banyak: suatu koleksi yang besar dari segi bersudut banyak, dihubungkan satu sama lain.

• Bentuk permukaan bebas: menggunakan fungsi polynomial tingkat rendah.

• CSG: membangun suatu bentuk dengan menerapkan operasi boolean pada bentuk yang primitif.

Hardware Display Grafik : Vektor

•  Vetor (calligraphic, stroke, random-scan)

• Arsitektur Vektor

Hardware Display Grafik : Raster

• Raster (TV, bitmap, pixmap), digunakan dalam layar dan laser printer

• Arsitektur Raster

Contoh Model Kurva

1. Kurva Spline
         Dalam matematika, spline adalah fungsi polinomial cukup halus yang piecewise - didefinisikan , dan memiliki tingkat tinggi kelancaran di tempat di mana potongan-potongan polinomial terhubung (yang dikenal sebagai knot).
        Dalam masalah interpolasi , interpolasi spline sering disebut sebagai interpolasi polinomial karena menghasilkan hasil yang sama , bahkan ketika menggunakan splines derajat rendah, untuk interpolasi polinomial dengan derajat yang lebih tinggi sambil menghindari ketidakstabilan karena fenomena Runge itu .
        Dalam splines komputer grafis adalah kurva populer karena kesederhanaan konstruksi mereka , kemudahan dan akurasi evaluasi , dan kapasitas mereka untuk perkiraan bentuk kompleks melalui kurva fitting dan desain kurva interaktif .
        The splines paling sering digunakan adalah spline kubik , yaitu , urutan 3 - khususnya, kubik B - spline kubik dan spline Bezier . Mereka umum , khususnya, dalam interpolasi spline simulasi fungsi splines datar.
      Istilah spline diadopsi dari nama strip fleksibel logam yang biasa digunakan oleh draftsmen untuk membantu dalam menggambar garis melengkung .
Splines adalah kurva , yang biasanya dituntut untuk terus menerus dan halus . Splines biasanya didefinisikan sebagai polinomial sesepenggal derajat n dengan nilai-nilai fungsi dan pertama n - 1 derivatif yang setuju pada titik-titik di mana mereka bergabung . Nilai-nilai absis titik join disebut knot .
         Istilah ” spline ” juga digunakan untuk polinomial ( splines tanpa knot ) dan polinomial piecewise dengan lebih dari satu turunan terputus-putus. Dengan demikian , splines tanpa knot umumnya halus dari splines dengan knot , yang umumnya halus dari splines dengan beberapa derivatif diskontinyu . Splines dengan beberapa knot umumnya halus dari splines dengan banyak knot , namun meningkatkan jumlah knot biasanya meningkatkan fit dari fungsi spline untuk data . Knot memberikan kebebasan kurva menekuk mengikuti data yang lebih erat .
       Sebuah spline kuadrat terdiri dari enam segmen polinomial. Antara titik 0 dan titik 1 garis lurus. Antara titik 1 dan angka 2 parabola dengan turunan kedua=4. Antara titik2 dan titik 3 parabola dengan turunan kedua =-2. Antara angka 3 dan angka 4 garis lurus. Antara titik4 dan titik 5 parabola dengan turunan kedua=6. Antara titik 5 dan titik 6 garis lurus.

        Sebuah spline kubik terdiri dari tujuh segmen polinomial. Bentuk ini digunakan sebagai pulsa di Pulse artikel (fisika).
 Turunan kedua dari spline kubik di atas.
Definisi
         Spline adalah fungsi nyata piecewise-polinomial Pada interval [a, b]terdiri dari k sub interval  dengan Pembatasan S untuk interval i adalah polinomial  ,
Maka  Urutan tertinggi dari polinomial  dikatakan urutan spline S. Spline dikatakan seragam jika semua sub interval adalah dari panjang yang sama, dan non seragam sebaliknya.

        Idenya adalah untuk memilih polinomial dengan cara yang menjamin kelancaran cukup S. Secara khusus, untuk spline order n, S dituntut untuk terus menerus terdiferensiasi untuk memesann-1 diinteriorpoin  : untuk semua  dan semua  , jadi  .
Contoh
Sebuah contoh sederhana dari spline kuadrat (spline derajat2) adalah :

Dimana  .
Sebuah contoh sederhana dari spline kubik :

Sebagai

Dan


Sebuah contoh penggunaan spline kubik untuk membuat kurva berbentuk lonceng adalah polinomial distribusi Irwin - Hall :

Sejarah
Sebelum komputer digunakan , perhitungan numerik dilakukan dengan tangan . Fungsi seperti fungsi langkah yang digunakan tetapi polinomial umumnya disukai . Dengan munculnya komputer , splines pertama diganti polinomial dalam interpolasi , dan kemudian disajikan dalam bentuk pembangunan halus dan fleksibel dalam komputer grafis .
Hal ini umumnya diterima bahwa referensi matematika pertama yang splines adalah 1.946 kertas dengan Schoenberg , yang mungkin adalah tempat pertama bahwa kata ” spline ” digunakan sehubungan dengan halus, piecewise polinomial pendekatan . Namun, ide ini berakar pada pesawat dan industri pembuatan kapal .
Dalam kata pengantar ( Bartels et al . , 1987) , Robin Forrest menjelaskan ” lofting ” , teknik yang digunakan dalam industri pesawat terbang Inggris selama Perang Dunia II untuk membangun template untuk pesawat terbang dengan melewati strip kayu tipis ( disebut ” splines ” ) melalui titik diletakkan di lantai loteng desain besar , teknik dipinjam dari desain kapal -hull .
Selama bertahun-tahun praktek desain kapal telah dipekerjakan untuk merancang model di kecil . Keberhasilan desain kemudian diplot pada kertas grafik dan poin-poin penting dari plot itu kembali diplot pada kertas grafik yang lebih besar untuk ukuran penuh . Strip kayu tipis memberikan interpolasi poin-poin penting dalam kurva halus . Strip akan diadakan di tempat pada titik-titik diskrit ( menggunakan beban memimpin , yang disebut ” bebek ” oleh Forrest (lihat Spline Ducks untuk ilustrasi ) ; Schoenberg digunakan ” anjing ” atau ” tikus ” ) dan antara titik-titik akan menganggap bentuk minimum energi regangan .
Menurut Forrest , satu dorongan yang mungkin untuk model matematis untuk proses ini adalah potensi kerugian dari desain komponen penting untuk seluruh pesawat harus loteng terkena bom musuh . Hal ini melahirkan ” kerucut lofting ” , yang digunakan irisan kerucut untuk memodelkan posisi kurva antara bebek .
Lofting kerucut digantikan oleh apa yang kita sebut splines pada awal tahun 1960 berdasarkan karya JC Ferguson di Boeing dan ( agak belakangan ) oleh MA Sabin di British Aircraft Corporation . Kata ” spline ” awalnya dalam dialek Anglia Timur .
Penggunaan splines untuk badan mobil model tampaknya memiliki beberapa awal independen. Kredit diklaim atas nama de Casteljau di Citroen , Pierre Bezier di Renault , dan Birkhoff , Garabedian , dan de Boor di General Motors (lihat Birkhoff dan de Boor , 1965) , semua untuk pekerjaan yang terjadi di tengah- awal 1960-an atau 1950-an. Setidaknya satu kertas de Casteljau itu diterbitkan, tetapi tidak banyak , pada tahun 1959 .Karya De Boor yang di General Motors menghasilkan sejumlah makalah yang diterbitkan pada awal tahun 1960 , termasuk beberapa pekerjaan fundamental di B - splines .
Pekerjaan juga sedang dilakukan di Pratt & Whitney Pesawat , di mana dua dari penulis pertama pengobatan buku - panjang splines ( Ahlberg et al , 1967. ) [ 13 ] dipekerjakan , dan David Taylor Model Basin , oleh Feodor Theilheimer . Pekerjaan di General Motors adalah rinci baik di Birkhoff ( 1990) dan Young ( 1997) . [ 14 ] Davis ( 1997) meringkas beberapa bahan ini .
 Berbentuk lonceng Irwin-Hall spline
 Turunan kedua dari spline sebelumnya
Kurva indiferensi
Dalam teoriekonomi mikro, kurva indiferen adalah grafik yang menunjukkan bundel barang yang berbeda antara konsumen yang acuh tak acuh. Artinya, pada setiap titik pada kurva, konsumen tidak memiliki preferensi untuk satu bundel di atas yang lain. Satu ekuivalen dapat merujuk pada setiap titik pada kurva indiferen seperti rendering tingkat utilitas yang sama (kepuasan) bagi konsumen.
Dengan kata lainkurva indiferen adalah tempat kedudukan berbagai titik yang menunjukkan kombinasi yang berbeda dari dua barang memberikan utilitas yang sama kepada konsumen. Utility kemudian perangkat untuk mewakili preferensi bukan sesuatu yang preferensi datang.
Penggunaan utama dari kurva indiferen adalah representasi dari pola permintaan berpotensi diamati untuk konsumen secara individu melalui perantara yaitu bundel komoditas. Ada jauh lebih banyak kurva indi feren: satu lewat melalui setiap kombinasi. Sebuah koleksi (dipilih) kurva indiferen, digambarkansecara grafis, disebutsebagaipetaketidakpedulian.
Sejarah
Teori kurva indeferensi dikembangkan oleh Francis Ysidro Edgeworth, Vilfredo Pareto, dan kawan-kawan di awal abad ke-20. Teori ini diturunkan dari teori utilitas ordinal, yang mengasumsikan bahwa setiap orang selalu dapat mengurutkan preferensinya. Dengan kata lain, seseorang selalu dapat menentukan bahwa ia lebih menyukai barang A dibanding barang B, dan lebih suka barang B dibanding barang C, lebih suka barang C daripada barang D dan seterusnya.
Peta dan Ciri dari kurva indiferensi
Sebuah grafik dari kurva indiferensi untuk seorang konsumen dihubungkan dengan tingkat utilitas/kepuasan berbeda disebut dengan peta indiferensi. Titik kembalinya tingkat kepuasan yang berbeda setiap unitnya dihubungkan dengan kurva indiferensi yang berbeda satu sama lain. Sebuah kurva indiferensi menjabarkan sebuah himpunan preferensi pribadi dan bisa berbeda pada orang satu dan lainnya.
Kurva indiferensi biasanya dijelaskan menjadi:
1. Dijabarkan hanya pada kuadran positif (+, +) diagram Cartesius dari komoditas berdasarkan kuantitas.
2. Melengkung secara negatif. Sebagai Kuantitas yang dikonsumsi dari satu barang (x) meningkat, kepuasan total akan naik jika tidak di kompensasikan oleh sebuah penurunan dalam kuantitas yang dikonsumsi pada barang lain (y). Sama dengan kekenyangan, dimana lebih dari barang (atau keduanya) sama derajatnya di prefrensikan untuk tidak ditingkatkan, tidak diikutsertakan. (jika utilitas U=f(x, y), U, dalam dimensi ke tiga, tidak memiliki sebuah maksimum lokal untuk semua x dan y.)
3. lengkap, seperti semua titik dalam kurva indiferen dirangking sama besar dalam hal selera dan dirangking baik lebih atau kurang di sukai dibandingkan titik lainnya yang tidak ada dalam kurva. Jadi, dengan (2), tidak ada dua kurva yang akan bersilangan (selain non-satiasi akan dilanggar).
4. Transitif dengan hubungan ke titik dalam kurva indiferen yang berbeda. Itu terjadi, jika tiap titik dalam I2 adalah selera (yang terbatas) pada tiap titik dalam I1, dan tiap titik dalam I3 dihubungkan ke tiap titik dalam I2, tiap titik dalam I3 dihubungkan ke tiap titik dalam I1. Sebuah lengkungan negatif dan transitifitas tidak dimasukan persilangan kurva indiferen, karena garis lurus dari kedua sisi tersebut bersilangan akan memberi rangking prefrensi yang tidak satu sisi dan intransitif.
5. (secara terbatas) convex (dijatuhkan dari bawah). Dengan (2), preferensi convex menyebabkan sebuah pemunculan dari asal kurva indiferen. Sebagai konsumen menurunkan konsumsi dari satu barang dalam unit suksesif, jumlah besar dari barang lainnya akan dibutuhkan untuk mempertahankan kepuasan tidak berubah, efek substitusi.

Asumsi
Ambil a, b dan c menjadi kumpulan (vektor) dari barang, seperti kombinasi (x, y) di atas, dimana kemungkinan adanya perbedaan jumlah dari tiap barang dalam kumpulan yang berbeda. Asumsi pertama adalah kebutuhan untuk sebuah representasi yang dibuat dnegan baik dari selera stabil untuk para konsumen sebagai agen ekonomi, asumsi kedua disesuaikan.
Rasionalitas (dalam hubungannya dalam konteks matematik yang umum): Keterselesaian + transtifitas. Untuk rangking pemberian prefrensi, konsumen bisa memilih kumpulan yang terbaik antara a, b dan c dari terbawah ke tertinggi.
Kontinuitas: Ini berarti kamu bisa memilih untuk mengonsumsi berapapun jumlah barang. Contohnya, saya bisa minum 11 mL soda, atau 12mL, atau 132 mL. Saya tidak dipaksa untuk meminum dua liter atau tidak sama sekali. Lihat juga fungsi kontinuitas dalam matematik.
Dari ciri yang tersisa di atas, seharusnya, ciri (kofeksitas) telah dilanggar oleh munculnya kurva indiferen keluar dari asal konsumen tertentu dengan memberikan dorongan ke anggaran. Teori konsumen kemudian menyebabkan konsumsi kosong untuk satu dari dua barang, katakanlah barang Y, dalam ekuilibirium ke anggaran konsumen. Ini akan mencontohkan sebuah solusi pojok. Lebih jauh, penurunan dalam harga barang Y di atas jarak tertentu mungkin akan meninggalkan jumlah/kuantitas yang diminta tidak akan berubah dari kosong (0) dan sesudahnya dimana penurunan harga selanjutnya mengganti semua pendapatan dan konsumsi jauh-jauh dari X dan Y. Rasio dari implikasi tersebut mensugestikan kenapa konfeksitas biasanya diasumsikan juga.
Aplikasi
Teori konsumen menggunakan kurva indiferen dan keterbatasan anggaran untuk menghasilkan kurva permintaan konsumen . Untuk konsumen tunggal, ini adalah proses yang relatif sederhana . Pertama , membiarkan satu baik pasar contoh misalnya , wortel , dan membiarkan yang lain menjadi gabungan dari semua barang-barang lainnya .
Keterbatasan anggaran memberikan garis lurus di peta ketidakpedulian menampilkan semua distribusi mungkin antara dua barang; titik utilitas maksimum maka titik di mana kurva indiferen bersinggungan dengan garis anggaran ( ilustrasi ) .
Ini mengikuti dari akal sehat : jika pasar nilai yang lebih baik daripada rumah tangga , rumah tangga akan menjualnya , jika pasar nilai kurang baik dari rumah tangga , rumah tangga akan membelinya . Proses ini kemudian berlanjut sampai pasar dan tingkat marjinal rumah tangga substitusi adalah sama. Sekarang, jika harga wortel mengalami perubahan, dan harga semua barang lain yang tetap konstan , gradien garis anggaran juga akan berubah, mengarah ke titik yang berbeda singgung dan kuantitas yang berbeda menuntut . Harga / kuantitas kombinasi ini kemudian dapat digunakan untuk menyimpulkan kurva permintaan penuh Sebuah garis yang menghubungkan semua titik singgung antara kurva indiferen dan batasan anggaran disebut jalur ekspansi .

Contoh dari Kurva Indiferensi
  
Dalam Gambar 1, konsumen akan lebih ke I3 daripada ke I2, dan akan lebih ke I2 daripada I1, tetapi tidak peduli dimana sang konsumen berada dalam kurva indiferen yang diwakilkan. Lekukan dari sebuah kurva indiferen (dalam nilai mutlak), dikenal oleh para ekonom sebagai rasio marjinal dari subtitusi, menunjukkan rasio dimana konsumen ingin memberi satu barang untuk ditukar lebih dengan barang yang lain. Untuk kebanyakan barang rata-rata marjinal dari subtitusi tidak tetap sehingga kurva indiferen mereka melekuk dengan tajam.
Kurva tersebut merupakan konfeks dari aslinya, menjelaskan efek negatif subtitusi. Selaras dengan kenaikan harga untuk pendapatan tetap, konsumen mencari barang subtitusi yang lebih murah pada kurva indifeen yang lebih rendah. Efek subtitusi diperkuat dengan efek pendapatan atau pendapatan nyata yang lebih rendah (Beattie-LaFrance). Sebuah contoh dari sebuah fungsi utilitas yang membuat kurva indiferen dari jenis ini adalah fungsi Coubb-Douglas

 .

Jika barang merupakan subtitusi sempurna maka kurva indiferen akan menjadi garis yang paralel karena konsumen akan meninginkan pertukaran pada sebuah rasio tetap. Rata-rata marjinal dari subtitusi selalu konstan. Contohnya yang diambil dari fungsi utilitas dihubungkan dengan kurva indiferen seperti ini akan menjadi :

 .

Jika barang merupakan komplementer sempurna maka kurva indiferensi akan menjadi berbentuk L. Contohnya seperti jika kamu mempunyai sebuah resep kue yang terdiri dari 3 cangkir tepung dan 1 cangkir gula. Tidak peduli berapapun tepung ekstra yang dipunya, tidak akan bisa membuat kue lebih banyak lagi karena tidak adanya kelebihan gula. Contoh lain dari komplementer sempurna adalah sepatu kiri dan sepatu kanan. Konsumen tidak menjadi lebih untung jika mempunyai banyak sepatu kanan jika hanya mempunyai sepatu kiri satu buah. Sepatu kanan tambahan memiliki utilitas marjinal kosong (0) tanpa adanya sepatu kiri yang sejumlah. Rata-rata marjinal dari subtitusi bisa kosong atau tak terbatas. Contoh dari tipe fungsi utilitas yang memiliki peta indiferensi seperti yang di atas adalah :

 .
Bentuk berbeda dari kurva menyebabkan respon yang berbeda kepada perubahan harga seperti yang ditunjukkan oleh analisa permintaan dalam teori konsumen. Hasilnya akan diterangkan disini. Sebuah garis harga dan anggaran ynang berubah yang membuat seorang konsumen dalam ekuilibrium dalam kurva indiferensi yang sama.
Dalam Gambar 1 akan mengurangi jumlah yang diminta dari sebuah barang dengan halus sebagai harga yang naik secara relatif untuk barang tersebut.
Dalam Gambar 2 akan tidak memberi efek dalam permintaan kuantitas dari kedua barang atau mengubah kuantitas yang diminta dari satu anggaran ke yang lain.
Dalam Gambar 3 tidak akan memberi efek pada ekuilibrium permintaan jumlah, karena garis anggaran akan berputar disekitar sudut dari kurva indiferensi.
Relasi prefrensi dan utilitas
Teori pilihan resminya mewakilkan konsumen dengan sebuah relasi prefrensi, dan menggunakan penggambaran ini untuk mendapatkan kurva indiferensi.
Ide tentang sebuah kurva indiferensi merupakan penggambaran jelas: Jika seorang konsumen mendapatkan kepuasan yang sama dengan 1 apel dan 4 pisang, 2 apel dan 2 pisang, atau 5 apel dan 1 pisang, kombinasi ini akan berada dalam kurva indiferensi yang sama.
Relasi Prefrensi
 = sebuah set dari alternatif yang eksklusif secara mutual di antara lainnya dimana konsumen bisa memilih
 dan  = elemen umum dari  .
Dalam bahasa dari contoh di atas, syarat  dibuat dari kombinasi dari apel dan pisang. Simbol  merupakan kombinasi, seperti 1 apel dan 4 pisang dan  merupakan kombinasi lain seperti 2 apel dan 2 pisang.
Sebuah relasi prefrensi, denotasi  , adalah sebuah relasi biner didefinisi dalam set  .
Pernyataan :

Dijelaskan sebagai ‘  diprefrensikan tidak terlalu kuat ke  . Maka,  setidaknya sama baik dengan  (dalam kepuasan prefrensi)
Pernyataan

Dijelaskan sebagai’  direferensikan ke  , dan  direfrensikan secara lemah ke  . Maka, satu merupakan indiferen ke pilihan dari  atau  , tidak berarti mereka tidak diinginkan tetapi mereka sama baik dalam prefrensi kepuasan.
Pernyataan

Dijelaskan sebagai ‘  diprefrensikan secara lemah ke  , tetapi  tidak diprefrensikan secara lemah ke  . Dikatakan bahwa  diprefrensikan secara terbatas ke  .
Relasi prefrensi  adalah komplit jika semua pasangan  bisa diberi peringkat. Relasitersebut merupakan relasi transitif jika kapanpun  dan  lalu  .
Masukan sebuah elemen tertentu dari pasangan  , seperti  . Seharusnya salah satu membangun daftar dari elemen lain dari  yang merupakan indiferen, di mata konsumen, ke  . Denotasikan elemen pertama dalam daftar ini dengan  , yang kedua dengan  dan seterusnya. Set  membentuk sebuah kurva indiferensi karena  untuk semua  .
Hubungan Formal ke Teori Utilitas
Dalam contoh di atas, sebuah elemen  dari set  dibuat dari dua angka: angka dari apel, sebut saja  dan angka dari pisang, sebut 
Dalam teori utilitas, fungsi utilitas dari agen adalah fungsi yang memberi peringkat semua pasangan dari bundel konsumsi dengan urutan prefrensi (kelengkapan) maka adanya set tiga atau lebih bundel membentuk sebuah relasi transitif. Ini berarti untuk setiap bundel  ada sebuah relasi unik,  , menujukkan utilitas (kepuasan) relasinya yang diasosiasikan dengan  .
Relasi  disebut dengan fungsi utilitas. Jarak dari fungsi tersebut merupakan sebuah set dari bilangan real. Nilai sebenarnya dari fungsi tersebut tidak penting. Hanya peringkat dari nilai-nilai tersebut memiliki isi untuk teori tersebut. Lebih tepatnya, jika  lalu bundel  dijelaskan sebagai setidaknya sama baik dengan bundel  . Jika  , bundel  dijelaskan secara terbatas diprefrensikan ke bundel  .
Masukan sebuah bundel tertentu  dan ambil derifatif total dari  mengenai titik ini :
 atau, tanpa kehilangan generalitas,
 (Eq. 1)
Dimana  merupakan derifatif parsial dari  dengan mengurut ke argumen pertama, dievaluasikan pada  . (Seperti untuk  )
Kurva indiferensi melalui  harus mengirim pada tiap bundel dalam kurva dalam tingkat utilitas yang sama dengan bundel  . Dengan kata lain, jika salah satu akan mengganti jumlah  dengan  , satu tersebut harus mengubah kuantitas dari  dengan jumlah  seperti itu, akhirnya, tidak ada perubahan pada U:
 , atau, mengganti 0 menjadi (Eq. 1) di atas untuk memecahkan dy/dx:
 .
Maka, rasio dari utilitas marjinal memberi nilai absolut dari lekukan kurva indiferens pada titik  . Rasio ini disebut dengan rasio marjinal dari subtitusi antara  dan  .
ContohMelihat dimana lekukan tersebut tidak bergantung pada  atau  : Kurva indiferens merupakan garis lurus.
Utilitas Cobb-Douglas
Jika fungsi utilitas merupakan bentuk dari  utilitas marjinal dari  adalah  dan utilitas marjinal dari  adalah  . Rasio marjinal dari subtitusi, dan kemudian lekukannya dari kurva indiferens ialah
Utilitas Linier
Jika fungsi utilitas merupakan bentuk dari  maka utilitas marjinal dari  adalah  dan utilitas marjinal dari  adalah  . Lekukan dari kurva indiferens adalah, selanjutnya,


Utilitas CES
Sebuah CES (Constant Elasticity of Subtitusion) dalam bentuk umum ialah :

dimana  dan  . ([Cobb-Douglas]] merupakan kasus spesial dari utilitas CES, dengan  .) Utilitas marjinal diberi oleh

dan

Lalu, bersama kuva indiferens,

Contoh ini mungkin berguna sebagai model ekonomi dalam konteks inidivual atau permintaan agregat.
Utilitas Non Linear
Misal model Utilits sebagai berikut:

Dimana i = 1, 2, … n Xi=Jenis barang ke i yang ingin dibeli konsumen bi=koefisien regresi A=Anggaran yang dimiliki konsumen maka banyaknya Xi optimal yang dapat dibeli konsumen adalah:
Xi=(Abi)/(Pxi.bi)
dimana Pxi=harga barang ke i yang dibeli konsumen bi = b1 + b2 + …. + bn syarat tidak ada nilai bi yang negatif